习题2.6

第 4 题

设 \(f \in C[0, 2a], f(0) = f(2a)\). 求证：\(\exists \xi \in[0, a]\) 使得 \(f(\xi) = f(\xi + a)\).

证明 设 \(F(x) = f(x) - f(x + a)\). 由 \(f \in C[0, 2a]\) 知 \(F \in C[0, a]\). 注意到 \(F(0) = f(0) - f(a)\), \(F(a) = f(a) - f(2a) = f(a) - f(0) = -F(0)\), 不妨设 \(F(0) \le 0 \le F(a)\). 由介值定理知 \(\exists \xi \in[0, a]\) 使得 \(F(\xi) = 0\). 即得 \(f(\xi) = f(\xi + a)\).