习题2.1
第 1 题
证明: \(f(x, y) = \sin(x^2 + y^2)\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上非一致连续.
证明
反证法. 假设 \(f(x, y) = \sin(x^2 + y^2)\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上一致连续, 那么对任意 \(\epsilon > 0\), 比如 \(\epsilon = \dfrac{1}{3}\), 则存在 \(\delta > 0\), 使得只要 \(\|(x_1, y_1) - (x_2, y_2)\| < \delta\), 就有 \(\left|\sin(x_1^2 + y_1^2) - \sin(x_2^2 + y_2^2)\right| < \epsilon = \dfrac{1}{3}\). 取 \((x_1, y_1) = (0, \sqrt{n\pi}), (x_2, y_2) = (0, \sqrt{n\pi + \dfrac{\pi}{2}})\), 则当 \(n\) 足够大时可以保证 \(\|(x_1, y_1) - (x_2, y_2)\| < \delta\). 但此时
当 \(n\) 取 \(2\) 的倍数的时候有 \(\left|\sin(x_1^2 + y_1^2) - \sin(x_2^2 + y_2^2)\right| = \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3} = \epsilon\). 矛盾. 因此 \(f(x, y) = \sin(x^2 + y^2)\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上非一致连续.
第 2 题
已知函数 \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) 连续, 且 \(\lim\limits_{\| X\|\to +\infty}f(X)\) 存在, 求证: \(f\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 上一致连续.
证明
记 \(L = \lim\limits_{\| X\|\to +\infty}f(X)\), 则 \(\exists M_0 > 0\), 使得 \(\forall \epsilon > 0, \|X\| > M_0\), 都有 \(\left|f(X) - L\right| < \dfrac{\epsilon}{2}\). 对于 \(\|X\| \le M_0\) 的有界闭区域, \(f\) 在上面是一致连续的, 现只需要考虑 \(\|X\| > M_0\) 的区域. 由于 \(\forall X, X'\) 满足 \(\|X\|, \|X'\| > M_0, \|X - X'\| < \delta\), 有 \(\left|f(X) - f(X')\right| \le \left|f(X) - L\right| + \left|f(X') - L\right| < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon\), 所以 \(f\) 在 \(\|X\| > M_0\) 的区域上也是一致连续的. 故 \(f\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上一致连续.
第 3 题
证明: 函数 \(f(X)\) 在 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 上一致连续的充要条件是: 对 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 上的任何两个点列 \(\{X_n\}\) 和 \(\{Y_n\}\), 当 \(\lim\limits_{n\to\infty}\|X_n-Y_n\| = 0\) 时, 有 \(\lim\limits_{n\to\infty}(f(X_n)-f(Y_n)) = 0\).
证明
先证必要性: 假设 \(f(X)\) 在 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 上一致连续, 则对于任意点列 \(\{X_n\}, \{Y_n\}\): \(\forall \epsilon > 0, \exists \delta_0 > 0\) 使得 \(\forall X, X'' \in \Omega, \|X - X'\| < \delta_0\) 有 \(\|f(X) - f(X')\| < \epsilon\). 由于 \(\lim\limits_{n \to \infty}\|X_n - Y_n\| = 0\), 故按定义展开有 \(\exists M > 0, \forall n > M\), 有 \(\|X_n - Y_n\| < \delta_0\) 从而 \(\|f(X_n) - f(Y_n)\| < \epsilon\). 故由定义知 \(\lim\limits_{n \to \infty}\|f(X_n)-f(Y_n)\| = 0\).
再证充分性: 反证法. 假设 \(f(X)\) 不一致连续, 则 \(\exists \epsilon_0 > 0, \forall delta > 0, \exists X_0, X_0' \in \Omega\) 满足 \(\|X_0 - X_0'\| < \delta\) 但 \(\|f(X_0) - f(X_0')\| \ge \epsilon_0\). 取 \(\delta_n = \dfrac{1}{n}\), 则 \(\exists X_n, Y_n\) 使得 \(\|X_n - Y_n\| < \delta_n = \dfrac{1}{n}\), 则由条件知 \(\|f(X_n) - f(Y_n)\| \ge \epsilon_0\). 由此, \(\lim\limits_{n \to \infty}\|X_n - Y_n\| = 0\) 但 \(\|f(X_n) - f(Y_n)\| \ge \epsilon_0\) 恒成立, 说明其极限不为 \(0\). 与 \(\lim\limits_{n \to \infty}\|f(X_n) - f(Y_n)\| = 0\) 矛盾. 故假设错误, \(f(X)\) 在 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 上一致连续.
第 4 题
讨论下列积分在所给区间上的一致收敛性.
(2) \(\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\cos yx}{1 + x^2}\text{d}{x}(-\infty < y < +\infty)\);
(4) \(\int_{0}^{+\infty}e^{-tx^2}\sin x\text{d}{x}(0 < t_0 \le t < +\infty)\);
(6) \(\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{d}{x}}{1 + (x + t)^2}(0 \le t < +\infty)\);
解
(2) 考虑 \(f(x) = \cos (yx), g(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\), 则对任意 \(A<0, B>0, y \in \mathbb{R}\) 均有 \(\left|\int_{A}^{B}f(x)\text{d}{x}\right| \le 1\) 有界, 且 \(g(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\) 关于 \(x\) 单调递减. 由于不含 \(y\), 所以 \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0\) 对于 \(y\) 一致成立. 由 Dirichlet 判别法知 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\cos yx}{1 + x^2}\text{d}{x}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上一致收敛.
(4) 考虑 \(f(x) = \sin x, g(x) = e^{-tx}\), 则对任意 \(A > 0, t \in [t_0, +\infty)\) 有 \(\left|\int_{0}^{A}f(x)\text{d}{x}\right| \le 1\) 有界, 且 \(g(x) = e^{-tx}\) 单调递减, 且 \(\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = 0\) 对于任意 \(t \in [t_0, +\infty)\) 一致成立. 有 Dirichlet 判别法知 \(\int_{0}^{+\infty}e^{-tx^2}\sin x\text{d}{x}\) 在 \([t_0, +\infty)\) 上一致收敛.
(6) 考虑含参积分 \(I(t) = \int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{d}{x}}{1 + (x + t)^2}\), 则 \(I(t) = \int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{d}{(x + t)}}{1 + (x + t)^2} = \arctan(x + t)\bigg\vert_{0}^{+\infty} = \dfrac{\pi}{2} - \arctan t\) 在 \([0, +\infty)\) 一致收敛.
第 5 题
证明: 积分 \(\int_{0}^{+\infty}e^{-tx}\dfrac{\sin 3x}{x + t}\text{d}{x}(0 \le t < +\infty)\) 一致收敛.
证明
先证明函数 \(\int_{0}^{+\infty}f(x, t)\text{d}{x} = \int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin 3x}{x + t}\text{d}{x}\) 关于 \(t>0\) 一致收敛. 由于 \(\int_{0}^{A}\sin 3x\text{d}{x}\) 不含 \(t\) 且对充分大的 \(A\) 均有界, 并且 \(\dfrac{1}{x + t}\) 关于 \(x\) 单调递减且趋于 \(0\) 对于任意 \(t > 0\) 一致成立, 故由 Dirichlet 判别法知 \(f(x, t) = \int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin 3x}{x + t}\text{d}{x}\) 关于 \(t > 0\) 一致收敛.
再考虑 \(g(x, t) = e^{-tx}\), 它关于 \(x\) 单调递减且趋于 \(0\) 对于任意 \(t > 0\) 一致成立. 由 Dirichlet 判别法知 \(\int_{0}^{+\infty}e^{-tx}\dfrac{\sin 3x}{x + t}\text{d}{x} = \int_{0}^{+\infty}f(x, t)g(x, t)\text{d}{x}\) 对于 \(t > 0\) 一致收敛.
第 6 题
设 \(f(x, y)\) 在 \([a, +\infty) \times [\alpha, \beta]\) 中连续, 如果对于每一个 \(t \in [\alpha, \beta)\), \(\int_{a}^{+\infty}f(x, t)\text{d}{x}\) 均收敛, 但 \(\int_{a}^{+\infty}f(x, \beta)\text{d}{x}\) 均发散, 证明: \(\int_{a}^{+\infty}f(x, y)\text{d}{x}\) 在 \([\alpha, \beta)\) 上非一致收敛.
证明
反证法. 假设 \(\int_{0}^{+\infty} f(x, t) \text{d}{x}\) 在 \([\alpha, \beta)\) 上一致收敛, 则由定义知 \(\forall \epsilon > 0, \exists A > 0, \forall A', A'' > A, \forall t \in [\alpha, \beta)\), 有 \(\left|\int_{A'}^{A''}f(x, t)\text{d}{x}\right| < \epsilon\). 考虑数列 \(\{t_n\} = \{\beta - \dfrac{1}{n}\} \to \beta, n \to +\infty\), 由于 \(f(x, t)\) 在 \([a, +\infty)\times[\alpha, \beta]\) 上连续, 因此对 \(\left|\int_{A'}^{A''}f(x, t_n)\text{d}{x}\right| < \epsilon\) 取 \(n \to +\infty\) 的极限, 有 \(\left|\int_{A'}^{A''}f(x, \beta)\text{d}{x}\right| \le \epsilon\). 但这与 \(\int_{a}^{+\infty}f(x, \beta)\text{d}{x}\) 发散矛盾. 因此假设不成立. 命题得证.
第 8 题
证明: 积分 \(\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin tx}{x}\text{d}{x}\) 在包含 \(t = 0\) 的区间上不一致收敛.
证明
反证法. 假设积分 \(I(t) = \int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin tx}{x}\text{d}{x}\) 在包含 \(t = 0\) 的区间上一致收敛, 不妨设该区间为 \([a, b]\), 其中 \(0 \in [a, b]\). 由于 \(\dfrac{\sin tx}{x}\) 在带状域 \([0, +\infty)\times[a, b]\) 上连续, 且广义积分 \(\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin tx}{x}\text{d}{x}\) 在包含 \(t = 0\) 的区间上一致收敛, 则该广义积分 \(I(t)\) 是连续的. 但 \(I(t) = \begin{cases}0, t = 0, \\ \dfrac{\pi}{2}, t \neq 0 \end{cases}\) 并不连续, 矛盾. 因此积分 \(\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin tx}{x}\text{d}{x}\) 在包含 \(t = 0\) 的区间上不一致收敛.