第6章总复习题

第 4 题

设 \(u_n(x) (n = 1, 2, \cdots)\) 是 \([a, b]\) 上的连续函数, 若 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}u_n(a), \sum\limits_{n = 1}^{\infty}u_n(b)\) 有一个发散, 证明: \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}u_n(x)\) 在 \((a, b)\) 上非一致收敛.

证明

使用反证法. 假设 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}u_n(x)\) 在 \((a, b)\) 上一致收敛. 不妨设 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}u_n(a)\) 发散. 由于 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}u_n(x)\) 在 \((a, b)\) 上一致收敛, 则

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N(\epsilon) > 0, \text{s.t.}\, \forall n > N, p \in \mathbb{N}^*, \left|\sum\limits_{k = n + 1}^{n + p}u_k(x)\right| < \epsilon, \forall x \in (a, b). \]

由于 \(u_n(x) (n = 1, 2, \cdots)\) 是 \([a, b]\) 上的连续函数, 故不等式两端同时取极限 \(x \to a\), 得

\[ \left|\sum\limits_{k = n + 1}^{n + p}u_k(a)\right| \le \epsilon \]

这说明 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}u_n(a)\) 收敛, 与题目矛盾, 因此假设不成立. 故 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}u_n(x)\) 在 \((a, b)\) 上非一致收敛.

第 8 题

考查下列函数项级数在指定区间的一致收敛性.

(1) \(\sum\limits_{n = 2}^{\infty}\ln\left(1 + \dfrac{x}{n\ln^2n}\right), x \in (0, +\infty)\);

(2) \(\sum\limits_{n = 2}^{\infty}\ln\left(1 + \dfrac{x}{n\ln^2n}\right), x \in (-1, 1)\);

(3) \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^2}{\sqrt{n!}}(x^n + x^{-n}), \dfrac{1}{3} \le \left|x\right| \le 3\);

解

(1) 假设 \(\sum\limits_{n = 2}^{\infty}\ln\left(1 + \dfrac{x}{n\ln^2n}\right)\) 在 \((0, +\infty)\) 上一致收敛, 则其一般项一致趋于 \(0\). 但取 \(\epsilon = \ln 2\), \(\forall N \in \mathbb{N}^*\), 取 \(n = N + 1, x = (N+1)\ln^2(N+1)\), 则

\[ \left|\ln\left(1 + \dfrac{x}{n\ln^2n}\right)\right| = \ln(1 + 1) = \ln2 = \epsilon. \]

这说明其一般项并非一致趋于 \(0\)., 矛盾. 故 \(\sum\limits_{n = 2}^{\infty}\ln\left(1 + \dfrac{x}{n\ln^2n}\right)\) 在 \((0, +\infty)\) 上非一致收敛.

(2) 由于 \(\left|\ln\left(1 + \dfrac{x}{n\ln^2n}\right)\right| \le \left|\dfrac{x}{n\ln^2n}\right| \le \dfrac{1}{n\ln^2n} \quad (-1<x<1)\), 且 \(\sum\limits_{n = 2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln^2n}\) 收敛, 故由 Weierstrass 定理知 \(\sum\limits_{n = 2}^{\infty}\ln\left(1 + \dfrac{x}{n\ln^2n}\right)\) 在 \((-1, 1)\) 上一致收敛.

(3) 只需说明 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^2x^n}{\sqrt{n!}}\) 在 \([1, 3]\) 上一致收敛即可. 由于 \(\left|\dfrac{n^2x^n}{\sqrt{n!}}\right| \le \dfrac{n^23^n}{\sqrt{n!}}\), 因此只需要说明 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^23^n}{\sqrt{n!}}\) 收敛, 即可使用 Weierstrass 判别法证明 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^2x^n}{\sqrt{n!}}\) 在 \([1, 3]\) 上一致收敛. 下证明 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^23^n}{\sqrt{n!}}\) 收敛. 设 \(u_n = \dfrac{n^23^n}{\sqrt{n!}}\). 由于

\[ \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n} = \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\dfrac{n^2 3^n}{\sqrt{n!}}} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{3}{\sqrt[2n]{n!}} = 0 < 1 \]

故由根值判别法知 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^23^n}{\sqrt{n!}}\) 收敛. 因此 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{n^2}{\sqrt{n!}}(x^n + x^{-n})\) 当 \(\dfrac{1}{3} \le \left|x\right| \le 3\) 时一致收敛.