习题1.2
第 1 题
写出下列函数表达式:
(1) 将圆锥的体积 \(V\) 表示为圆锥斜高 \(l\) 与高 \(h\) 的函数;
(2) 在半径为 \(1\) 的球面内内接长宽高分别为 \(x, y, z\) 的长方体, 将其表面积表示为 \(x, y\) 的函数;
(3) 在椭球面 \(\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1\) 内接长宽高分别为 \(2x, 2y, 2z\) 的长方体, 将其体积表示为 \(x, y\) 的函数;
(4) 将点 \(P(x, y, z)\) 到球面 \((x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 2\) 的最短距离表示为 \(P\) 的坐标的函数.
第 2 题
求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形
(1) \(f(x, y) = \sqrt{4x^2 + y^2 - 1}\);
(2) \(f(x, y) = \ln(xy)\);
(3) \(f(x, y, z) = \sqrt{y^2 - 1} + \ln(4 - x^2 - y^2 - z^2)\);
(4) \(f(x, y, z) = \arcsin\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\).
第 3 题
已知 \(f\left(x + y, \frac{y}{x}\right) = x^2 - y^2\), 求 \(f(x, y)\).
解
设 \(\begin{cases} m = x + y, \\ n = \frac{y}{x}, \end{cases}\) 则 \(\begin{cases}x = \frac{m}{n + 1}, \\ y = \frac{nm}{n + 1}.\end{cases}\) 因此 \(f(m, n) = x^2 - y^2 = \frac{m^2(1-n)}{1+n} (n \neq -1)\). 而当 \(n = -1\) 时显然有 \(f(m, n) = 0\). 故
第 4 题
如果 \(n\) 元函数 \(f(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 对任意实数 \(t\) 满足 \(f(tx_1, tx_2, \cdots, tx_n) = t^kf(x_1, x_2, \cdots, x_n)\), 则称 \(f\) 是 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 的 \(k\) 次齐次式, 下列函数是否为齐次式? 若是, 求出次数 \(k\).
(1) \(f(x, y, z) = \frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz}\);
(2) \(f(x, y, z) = \sqrt{x^3 + y^3 + z^3} + xyz\);
(3) \(f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^na_{ij}x_ix_j\).
解
(1) \(f(tx, ty, yz) = \frac{(tx)^3 + (ty)^3 + (tz)^3}{(tx)(ty)(tz)} = \frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz} = t^0f(x, y, z)\). 因此 \(k = 0\).
(2) \(f(tx, ty, tz) = \sqrt{(tx)^3 + (ty)^3 + (tz)^3} + (tx)(ty)(tz) = t^{\frac{3}{2}}\sqrt{x^3 + y^3 + z^3} + t^3xyz\). 因此不是齐次式.
(3) \(f(tx_1, tx_2, \cdots, tx_n) = \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^na_{ij}(tx_i)(tx_j) = t^{2}\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^na_{ij}x_ix_j = t^{2}f(x_1, x_2, \cdots, x_n)\). 因此 \(k = 2\).
第 5 题
位于 \((a, b, c)\) 质量为 \(M_0\) 的空间质点对于位于 \((x, y, z)\) 质量为 \(m_0\) 的空间质点的引力是定义在 \(\mathbb{R}^n\backslash\{a, b, c\}\) 上的一个向量值函数 \(\mathbf{F}(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z)\), 写出 \(\mathbf{F}\) 及分量 \(F_x, F_y, F_z\) 的函数表达式.
第 6 题
\(\mathbb{R}^2\) 的子集 \(D\) 到 \(\mathbb{R}^2\) 的映射 \(F:(x, y)\mapsto (u, v)\) 为 \(\begin{cases}u = x^2 - y^2, \\ v = xy, \end{cases}\) 其中定义域 \(D\) 是由四条曲线 \(x^2 - y^2 = 1, x^2 - y^2 = 4, xy = 1, xy = 2\) 围成的平面区域, 求 \(F\) 的值域 \(F(D)\), 并问: 在 \(D\) 内的直线 \(x = a\) 映射为何曲线?
解
由题知 \(F(D)\) 中区域被夹在 \(x^2 - y^2 = 1\) 和 \(x^2 - y^2 = 4\) 之间, \(xy = 1\) 和 \(xy = 2\) 之间. 因此 \(F(D) = \{(u, v) | 1 \le u \le 4, 1 \le v \le 2\}\).
因为当 \(x = a\) 时 \(u = a^2 - y^2, v = ay\), 所以消去 \(y\) 可得曲线 \(a^2u + v^2 = a^4 (1 \le u \le 4, 1 \le v \le 2)\).
第 7 题
\(\mathbb{R}^2 \backslash \{(0, 0)\}\) 到 \(\mathbb{R}^2\) 的映射 \(F:(x, y) \mapsto (u, v)\) 为 \(\begin{cases}u = \frac{x}{x^2 + y^2}, \\ v = \frac{y}{x^2 + y^2}.\end{cases}\)
问: (1) \(O-xy\) 平面上的圆 \(x^2 + y^2 = R^2\) 映射为 \(O-uv\) 平面上的什么曲线?
(2) \(O-xy\) 平面上的线段 \(y = x(0 < x \le 1)\) 映射为 \(O-uv\) 平面上的什么曲线?
解
(1) 解得 \(\begin{cases}x = \frac{u}{u^2 + v^2}, \\ y = \frac{v}{u^2 + v^2}.\end{cases}\) 代入 \(x^2 + y^2 = R^2\) 得 \(u^2 + v^2 = \frac{1}{R^2}\).
(2) 代入 \(y = x(0 < x \le 1)\) 得 \(v = u(v \ge \dfrac{1}{2})\).